Factorisation de z^n - a^n

P roposition  factorisation de \(z^n - a^n\)

Soit \(n\) un entier naturel non nul, et soit \(z\) et \(a\) des nombres complexes. On a : \(z^n - a^n = (z-a) \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k} a^k = (z-a)( z^{n-1} + z^{n-2}a + z^{n-3}a^2 + za^{n-2} + a^{n-1} )\) .

Démonstration

Soit \(n\) un entier naturel non nul, et soit \(z\) et \(a\) des nombres complexes.
\(\begin{align*}(z-a) \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k} a^k &= z \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k} a^k - a \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k} a^k\\ &= \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-k} a^{k} - \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k} a^{k+1}\\ &= z^n + \sum\limits_{k=1}^{n-1} z^{n-k} a^{k} - a^{n} - \sum\limits_{k=0}^{n-2} z^{n-1-k} a^{k+1}\\ &= z^n - a^n + \sum\limits_{k=1}^{n-1} z^{n-k} a^{k} - \sum\limits_{k=0}^{n-2} z^{n-1-k} a^{k+1}\\ &= z^n - a^n + (z^{n-1}a + z^{n-2}a^2 + \ldots + z a^{n-1} ) - (z^{n-1}a + z^{n-2} a^2 + \ldots + z a^{n-1})\\ & = z^n - a^n\end{align*}\)

Remarque  

Pour éviter d'écrire les sommes sous forme étendue pour effectuer la simplification dans l'avant-dernière égalité, on peut utiliser le fait que, lorsque \(k\) prend toutes les valeurs entières entre \(0\) et \(n-2\) , \(k'=k+1\) prend toutes les valeurs entières entre \(1\) et \(n-1\)  :
\(\sum\limits_{k=0}^{n-2} z^{n-1-k} a^{k+1}= \sum\limits_{k=0}^{n-2} z^{n-(1+k)} a^{k+1}= \sum\limits_{k'=0+1}^{n-2+1} z^{n-k'} a^{k'}= \sum\limits_{k'=1}^{n-1} z^{n-k'} a^{k'}\)

Remarques

• On a donc montré que, pour \(n\) entier naturel non nul, \(z-a\) divise \(z^n - a^n\) .
  
• Soit \(z \in \mathbb{C}\) et \(a \in \mathbb{C}\) , on obtient :
  Pour \(n=1\) ,   \(z-a = z-a\) .
  Pour \(n=2\) ,   \(z^2 -a^2 = (z-a)(z+a)\) .
  Pour \(n=3\) ,   \(z^3 -a^3 = (z-a) (z^2 + az + a^2)\) .